Преобразования Фурье

 

Основа теории Фурье – представление одномерных и многомерных сигналов в виде линейных комбинаций базисных синусоидальных функций.

 

Фурье анализ

Первая компонента имеет нулевую частоту (нулевая гармоника). т.к. представляет собой среднее значение сигнала. Компонента с наименьшей нулевой частотой имеет тот же период, что и прямоугольный сигнал и называется основной гармоникой.

Третья гармоника имеет частоту в 3 раза больше, чем в основной гармонике.

5-ая гармоника в 5 раз больше.

Относительные веса этих компонент при их суммировании для синтеза исходного прямоугольного сигнала равны соответственно 1, 1/3, 1/5. По мере добавления новых компонент с больше частотой сумма их всё точнее будет описывать прямоугольный сигнал. Полная сумма всех компонент называется рядом Фурье прямоугольного периодического сигнала. Обобщение одномерного анализа Фурье для случая цифровых изображений можно проиллюстрировать (слайд2) Т.к. изображение у нас дискретное, то ряд Фурье представляет собой конечную сумму синусов и косинусов. Так же, как и 1-мерном случае ряда Фурье, исходное изображение воспроизводится полностью только при использовании всех членов разложения. С увеличением слагаемых повышается точность аппроксимации исходного изображения. Причём каждую такую сумму можно рассматривать как низкочастотную компоненту низкочастотную компоненту, а карту невязок – как высокочастотную.

 

Дискретное преобразование Фурье для 2-мерного случая

2-мерный ряд Фурье определяется:

 

По формуле (1) – обратное дискретное преобразование Фурье,

Где j – мнимая единица

F_kl – комплексная амплитуда компоненты kl.

 

Формула (2) определяет f_mn как суперпозицию N_x N_y gj по синусоидальному и косинусоидальному слагаемому.

Обратное дискретное преобразование фурье:

 

В силу периодичности компонента при 2-мерном преобразовании Фурье неяно предполагается, что изображение повторяется во всех направлениях. Результатом преобразования тоже будет периодическая функция.

Именно это свойство приводит к эффекту циклического перехода при использовании преобразования Фурье для реализации пространственной свёртки.

Массив компонентов, полученный по формуле часто реорганизуется в соответствии с естественным порядком (который часто применяется в оптике). В качестве относительных единиц измерения простр. Частоты используется

пиксель^-1. И при этом интервалы пространственных частот будут задаваться:

 

 

При использовании абсолютных единиц интервалы пространственных частот надо разделить на фактический размер пикселей Δх и Δу.

 

 

Форма представления Фурье образа

 

Фурье образ можно разложить на 2компоненты: действительную и мнимую.

 

Как и любое комплексное число, результат преобразования можно представить в экспоненциальной форме через амплитуду и фазу:

 

 

 

Фазовая компоненты одержит важную информации о пространственной структуре изображения. Это можно продемонстрировать, установив постоянное значение амплитуды и выполнив преобразование Фурье для модифицированного пектра.

В результате увидим, что фазовая составляющая несёт информацию о взаимном расположении объектов на изображении.

И наоборот, если фазовая постоянная будет 0, но сохранится исходная амплитуда, то результат обратного преобразования будет чё попало.

 

Фильтрация с помощью преобразования Фурье

 

Если мы применим преобразование Фурье к свёртке, то получим:

 

где F и G, F - спектр пространственных частот входного и выходного изображения;

W – Фурье-фильтр;

Функции G, F, Y – комплексные функции

 

Из этой формулы можно вывести, что преобразовании Фурье свёртки и фильтра = произведению  фурье-образов. Можно сначала выполнить преобр. Фурье отдельно для исходного изображения и весовой функции и потом перемножить их спектры и выполнить обратное преобразование, в результате получим результирующее изображение в пространственной области.

Поскольку окно фильтров обычно намного меньше изображения, то как условие, окно должно быть растянуто как изображение, чтобы обеспечить одинаковое положение компонент F и W. Такое расширение осуществляется с помощью окружения окна фильтра нулями.

Если нам понадобится применить Фурье-фильтр много раз, то мы сможем рассчитать его один раз и использовать его непосредственно на этапе вычисления соответствующего произведения.

 

 

Эти равенства описывают влияние фильтра W на модуль и фазу пространственного спектра исходного цифрового изображения F. При размере окна фильтрации менее, чем 7х7 пикселей, рекомендуется использовать алгоритм свёрки в пространственной области. А при больших размерах окна использовать алгоритмы фильтрации, основанные на преобразовании Фурье, т.к. фильтра Фурье очень ресурсозатратные.

 

Функция передачи модуляции

 

Одним и преимуществ формулы 9.12 является то, что эта свёртка позволяет рассматривать фильтры в качестве мультипликативных масок в области пространственных частот.

Рассмотрим идеальный LPF:

 

 

Kc – эффективная часть отсечки

Отсюда можно увидеть, что идеальный LPF – это идеальная маска Фурье-образов, которая полностью пропускает частотные компоненты ниже частоты отсечки и соответственно задерживает все компоненты выше этой частоты. Амплитудный фильтр W_kl ещё называется функцией передачи модуляции.

Значение функции передачи модуляции при нулевой частоте равно сумме весовых коэффициентов соответствующего фильтра, используемого в качестве ядра свёртки.

 

Среднее значение пикселя изображения после фильтрации равно среднему значению пикселей исходного изображения, униженному на функцию передачи модуляции про нулевой частоте.

НЧФ и ФУВЧ не изменяют среднего значения, а после применения ФВЧ среднее значение становится равным 0.

При анализе усредняющих фильтров появляются проблемы:

 

 

При простой коррекции эти проблемы будут несущественны.

На практике ситуацию можно существенно улучшить, если использовать в прямоугольном окне фильтрации гауссову функцию.

Например, фильтра гаусса низких частот 3х3 будет иметь вид:

 

Несмотря на то, что гауссова функция обрезается окном с размерами 3х3, эффект, связанный с асимметрий оказывается намного меньше, чем у обычного усредняющего фильтра. А оставшуюся осевую асимметрию можно снизить, увеличив размер окна фильтрации. Точно такие же гауссовы фильтры можно получить и для ФУВЧ и для ФВЧ.

 

Пространственный спектр мощности сигнала

 

Одни из наиболее полезных инструментов для решения задач этого типа является пространственный спектр мощности сигнала или квадрат амплитудного спектра. Можно привести след. Примеры соотношений между пространственной областью и областью пространственных частот:

 

Пространственная область	Область пространственной частоты
Периодическая структура (напр., городская застройка)	Пики с высокоамплитудой, локализованные вокруг частот структур
Линейные и квазипериодические элементы (станции ж/д)	Линии с высокой амплитудой, проходящая через нулевую частоту и ориентированная перпендикулярно пространственным структурам.
Нелинейные и апериодические элементы	Облако с высокой амплитудой, локализованное в области низких частот

 

Фильтры нулевого уровня

 

Ограничением локальных градиентных фильтров является то, что для расчёта значения каждого фильтра используется информация лишь его окрестностей. Этот способ не позволяет в явном виде выделить крупномасштабные границы, в результате их приходится воссоздавать из отдельных граничных фильтров, полученных с помощью градиентных методов. В результате выходим на 2 более продвинутых фильтра:

фильтр пирамид Гаусса, который является результатом последовательного применения фильтров низких частот с различными полосами пропускания

Пирамида Лапласа – результат последовательного применения полосовых фильтров, действующих в различны областях пространственного спектра.

 

 

LoG – лапласиан гауссовой функции.

Предположим, что нам дана 1-мерная функция. И надо найти положение точек, в которых эта функция претерпевает наиболее значимые изменения. Из рис. видно, что в таких точках 2-ая производная функции обращается в 0. Предположим что выполняется свёртка исходной функции с фильтром Гаусса шириной  пикселей с последующим вычислением 2-ой производной. Как видно из графика точки нулевых значений 2-ой производной, которая соответствует наиболее значительным изменениям функции, находится там же, где и раньше. А те, которые соответствовали наиболее слабым изменениям, просто исчезли. Распределение Гаусса с нулевым средним значением и стандартным отклонением σ имеет вид:

Рассмотрим фильтры свёртки f и g.

 Т.е. свёртки 2-ой   производной функции f с гауссовой функцией g = свёртке 2-ой функции с производной гауссовой функции. Отсюда следует, что можно сразу создать фильтр LoG, определяемый

 

Wavelet преобразования

 Пирамиды изображений и многомасштабная фильтрация послужили основой дл создания Wavelet преобразования, который сейчас привлекает внимание.

Теория их является математической основой для разложения изображения на составляющие разного масштаба и разрешения. Аналогично тому, как дискретное преобразование Фурье позволяет представить в виде суммы синусов и косинусов, 2-мерное дискретное Wavelet преобразование позволяет разложить изображение на сумма 4 компонент для каждого уровня разрешения.

Wavelet преобразование мультиплекативно. И его можно представить в виде произведения двух 1-мерных операций по строкам и столбцам. Т.е. многомасштабные Wavelet пирамиды строятся пошагово. Каждый шаг представляет собой операцию свёртки с последующим 2-кратным уменьшением частоты дискретизации. Основное отличие Wavelet преобразования от пирамид Гаусса и Лапласа в том, что 4 компоненты рассчитываются на основе различных сочетаний строк и столбцов. Большая часть теории Wavelet преобразования связана с выбором функции внутри окна. Некоторые функции Wavelet преобразования выглядят асимметрично и необычно для фильтров, характеризуются наличием пиков и асимметрии.

Wavelet преобразования используются для отображения высокочастотных объектов (точек, линий, границ), для автоматического совмещения двух изображений и в качестве многомасштабной основы объединения изображений, полученных различными датчиками.

Свёртка и фильтрация с помощью преобразования Фурье являются эквивалентными методами глобальной обработки изображений (кроме граничной области).

Фильтры, заданные в небольшом окне можно использовать для решения различных задач, например устранение шумов. А многомасштабные фильтры позволяют получить доступ к элементам изображения в целом, в соответствии с их размерами, что невозможно получить фильтрами свёртки и Фурье-преобразованиями.

 

Устранение шумов

 

Если уровень шума существенно ухудшает качество изобр, нуна подавлять шум.  Для выбора методов подавления шума надо провести     сначла анализ шума ( опр что это за шум, глобальный, переодический и т.д.). в некоторых случаях для устранения шума мона использовать калибровочные данные иль эталонные изображения. С помощью этих данных мона точно оценить параметры шума. Но и эти параметры бывают не полными иногда. Источник- шум оборудования иль случайные помехи, в этом случае проводим оценку шума по данным от самого оборудования иль др источников. Всвязи с тем, что шумы у нас обусловлены работой нашего детектора, то характеристики нашего шума определяются в отдельных пикслях иль строках сканирования, всвязи с этим устранения шумов нуна делать до этапа геометрической коррекции изображения и повторной дискретизации. Если будем устранять шумы после этого, то можем потерять логику ы шуме и произойдет размытие по соседним пикселям и не смогемвоспользоваться модель. Датчика.

Типы:

1. Глобальный шум- характеризуется слуцчайными изменениями в значениях пикселях, для уменьшения дисперсии мона исп простанственные фильры низких частот, в этом случае из за наличии внутренней пространественной корелляции уменьшается дисперсия полезного сигнала. Один из фильтров- сигма фильтр.  Анализ заключается в поиске компромисса между устренением ушма и устреднением полезного сигнала. Для решения щадачи нуна разделить эии 2 компоненты. В сигма-фильтре эти 2 омпоненты разделяются по контрастности, а для устреднения используется скользящее окно, пари каждом положении окна усредняются только те пиксели, которые отличаются от центрального на заданное пороговое значение дельта. Дельтра определяется в единицах стандартного отклонения дельта=к*сигма.  В результате диапазон значений, участвующих в усреднении равен

 

В оригинальном сигма фильтре кооф К=2. Это связано с тем, что этот кооф соотв 95.5% для всех данных гауссова распределения если стандартное отклонение щума зависит от полезного сигнала, то фильтрацию мона сделать адаптивной, задав пороговое значение в единицах локального стандартного отклонения

 

Но в этом случае фильтр становится восприимчив к объектам  с высокой контрастностьюи сдеовательно будет происходить сглаживание

Фильтр Магано-Мацуямы. Одиг из нелостатков фильтра – то что он не является направленным. Метод был разработан специально для пространственно ориентированных линейных объектов. Используется скользящее окно 5х5. При каждом положении окна рассчитывается среднее значение  пикселей и стандартное отклонение в 9 подокнах.

 

К выходному значению пикселя присваивается среднее значение наиболее однородного подокна ( наименьшая дисперсия)

В сигма фильтре потеря меньше чем в филтре низких частот, а для сохранения линейгых объекторв лучеисп фильтр мацуямы

 

2. Локальный шум- связан с отдельными дефектами пикселей и строк которые обычно возникают из за потери данных. В продользх пзс сканерах могут быть неисправные детекторы. Влияние будет сказыаться на всех исображениях в одном и том же месте. Этот недостаток мона устратиь с помощью условного медианног офильтра

Этот фильтр реальзуется путем сравнения всех исходных пикселей с непосредственными соседями выще и ниже. Если значение текущего пикселя отличается от соседей, и это отличие будет больше заданного порогового значения, то оно заменяется медианой трех пикселей. Если кооф не превышен, то значение сохраняется. Такой алгоритм создания маски удаляет большую часть шума и этот метод приводит к существенно меньшим изменениям изображения в целом. Этот алг реализуется в 2 этапа. На первом- опр зашумленные пикселе. Второй- значение их заменяются на оценку полученную на основе хороших пикселей.

3. Периодические шумы- глобальный переодический шум(((коггеееренннтттный) проявляется в виде повторяющихся структурах…  различия в калибровке пзс элементов. При преобразовании фурье это будет приводить к появлению хорошо выделенных пиков на опр пространственных частотах. Если эти пики находятся на достаточном расстоянии от основного спектра, то этот шум мона удалить просто приравняв сооств спектральные значения нулю и выпольнить обратное преобразование. Если нащ шум будет лежать в областиосновнорго спектра, то обнулений шумовых компонент приведет и к удалению полезного сигнала.  На практике эту проблему решают так: вместо полного удаления проводят интерполяцию с соседними значенимями, получают усредненное значение.

 

Локальный спериодический шум. Для удаления такого шума нуна использовать локальные оценки для каждого пикселя.

 

4. Полосовой шум - возникает в строках снимков полученных поперечными пзс сканерами возникает он из за различий в характеристиках различий в характеристиках детекторных элементов иль из-за других факторов связанных с электроникой. Если причина шума является различие в калибровке детекторов, то нащ шум будет обладать периодичностью равной количеству детекторов в сканере. При съемке ппродольным сканером такая периодичность никогда не возникает, потмоу что все столбца формируются одновременно всей линейкой детекторов. Полосовой шум всегда нуна устранять до выполнения геом коррекции, пока строки массива наших данных совмещены с направлением сканирования. Для устранения таких шумов используются модели съемочных систем.

Глобальное линейное согласование детекторов-данные поступают от разных детекторов, длжны иметь одинаковые значения пикселей и стандартные отклонения.  На этом правиле основан очень протой алгоритм подавления полосового дума. Берется 1 из детекторов в качестве эталона, для него рассчитывается среднее значение пикселей и стандартное отклоенение.  Соответствующие характеристики всех остальных детекторов мы будем выравнивать по этим значениям. Преобразование для i детектора:

 

В результате этого преобразования все детекторы будут иметь те же отклонения что и эталонный детектор

 

Нелинейное согласование детекторов- прменяется когда линейная коррекция не является достаточной. Необходимо: нужно выбрать 1 из детекторов в качестве эталона, построить кумулятивные гистограммы для эталона и для того набора данных, который будем обрабатывать и сделать преобразование :

 

В результате кумулятиная гист каждого детектора будет соотв гистограмме эталона и все нелинейные эффекты будут учтены нашей формулой.

 

Создание маски пространственного фильтра

 

это 1 из эффективных способов устранения полосового шума. Но эффективен только для небольших изображений. Этот метод основан на анализе амплитудного спектра изображения и выделения в нем тех частотных компонент, которые соотв шуму. Для этих частот создаются полосно-заграждающие фильтры. Эти фильтры позволяют устранить шумовые составляющие из апплитудного спектра и после обратного преобразования фурье получить скорректированное изображение. Для некоторых исозб мона исп более автоматизированные методы подавления шумов. Если интервал пространстваенных частот для всей сцены достаточно узок, а шум проявлятся в основном навысоких частотах, то для создания заграждающего фильтра можноиспользовать следующую последовательность действий:

1. Перемножить амплитудный спектр изображения с мягим высокочастотным фильтром (обратная гауссова функция), это позволит снизить амплитуду низкочастотных компонент, которые содержат полезный сигнал и удалить нулевую частотную составляющую

2 устанвоить для результатов пороговое значение на глазок J

3 используя пороговое значение, выбрать шумовые компоненты и задать для них амплитуды равные нулю, а для амплитуд всех остальных сосотавляющих задать значение равное единице.

4 применить данную маску(п3) к спектру изображения и после чего рассчитываем обратное преобразование фурьее.

       При выполнении сигментации Этот шум очень сильно зависит от направления сканирования и усиливается наиболее яркими элементами сцены.  Для геометрически скорректированных изображений удаление шума будет сложным для рещения этой задачи есть многошаговая процедура типа свертки, которая состоит из 3 этапов пространственной фильтрации (смотри схему).

 В процессе работы этого фильтра происходит выделение шума с последующим вычетанием шумовой компоненты. Сначала применяется фильтр низских частот размером 1 строка на 101 столбец, позволяет выделить низскочастотный сигнал и шум сканирования, затем выделенное LP сворачивается с фильтром пропускания высоких частот размером 33 строки на 1 столбец. С помощью этого фильтра вы деляется относительно высокочастотный шум сигементации и последний низкочастотнвй фильтр 1 строка на 31 столбец подавляет диагональные артефакты, которые могут быть внесены на 2 этапе. На завершающем этапе выделенная структура шумавычетается из исходного снимка